BAB III RELASI DAN FUNGSI

MENYATAKAN RELASI

( Materi ini bisa kalian pelajari dari Buku Matematika K13 kls VIII smt 1 hlm 71- 88 )

Sekelompok siswa yang sedang belajar di kelas, setiap siswa menempati kursinya masing-masing.

Tidak ada seorang siswa menempati lebih dari satu kursi. Akan tetapi satu kursi yang panjang dapat ditempati oleh lebih dari satu siswa. dengan demikian ada hubungan antara siswa dengan kursi yang ditempati.

Apakah hal tersebut termasuk relasi atau mungkin suatu fungsi ?

Agar kalian memahami tentang konsep relasi dan fungsi, pelajarilah materi berikut dengan seksama.

A. Relasi

Menyatakan hubungan antara anggota himpunan satu dengan anggota himpunan lainnya. 

Dua himpunan dapat dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan.

Relasi antara dua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan Diagram Panah, Himpunan Pasangan Berurutan, dan Diagram Cartesius.

 

1 . Diagram Panah

Diagram panah adalah cara yang paling mudah untuk menyatakan suatu relasi. Diagram ini membentuk pola dari suatu relasi dalam bentuk gambar arah panah yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Contohnya : ada 4 anak yaitu Edi, Budi, Susi dan Wati. Mereka diminta untuk menyebutkan buah kesukaan mereka.

Edi suka buah Melon

Budi suka buah Mangga

Susi suka buah Apel

Wati suka buah Melon dan Jeruk

Dari hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan. Himpunan pertama merupakan himpunan nama anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan buah, kita sebut himpunan B. Hubungan antara kedua himpunan tersebut dapat diilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa diagram panah di atas adalah relasi antara anak dengan warna favorit mereka. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota dari himpunan A dengan anggota dari himpunan B

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah, suatu relasi juga dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Caranya adalah dengan memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Kita dapat mengambil contoh dari diagram panah diatas tadi.

§  Edi suka buah Melon

§  Budi suka buah Mangga

§  Susi suka buah Apel

§  Wati suka buah Jeruk

§  Wati suka buah Melon

berdasarkan uraian yang ada di atas, kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

{(Edi, Melon), (Budi, Mangga), (Susi, Apel), (Wati, Jeruk), (Wati, Melon) }

Jadi, relasi antara dua himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

3. Diagram Cartesius

Menyatakan relasi antara dua himpunan dari pasangan berurutan yang kemudian dapat dituliskan dalam bentuk titik-titik. Contoh dari relasi tadi yaitu himpunan A = {Edi, Budi, Susi, Wati} dan himpunan B = {Apel, Melon, Mangga, Jeruk}, dapat digambarkan dalam bentuk diagram Cartesius seperti di bawah ini:

Contoh soal  

Diketahui dua buah himpunan yaitu K ={ 3, 4, 6 } dan himpunan L ={ 2, 4, 5 }, hubungan dari himpunan K ke L adalah “ Lebih Kecil dari”, nyatakan relasi tersebut dalam :

a.       Diagram panah.

b.      Himpunan pasangan berurutan.

Jawab :

a.       Diagram panah

    

b. Himpunan pasangan berurutan

{(3,4), (3,5), (4,5)}

B. Fungsi

Fungsi ( pemetaan ) adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan  tepat satu  anggota himpunan B. 

Semua anggota himpunan A merupakan daerah asal disebut domain, sedangkan semua anggota himpunan B merupakan daerah kawan disebut kodomain. 

Semua anggota himpunan B yang menjadi pasangan anggota himpunan A disebut sebagai range fungsi atau daerah hasil.

Sama seperti relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan diagram Cartesius.

Perhatikan contoh berikut

berdasarkan diagram panah di atas dapat disimpulkan:

Domain adalah A = {2,4,8}

Kodomain adalah B = {1,2,4,8}

Range fungsi = {1,2,4}

Sebuah fungsi dapat dituliskan dengan huruf kecil seperti f, g, h. 

Misal, fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x → 3x+2. 

Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+2. 

Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 3x+2 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+2. 

Dari uraian ini dapat dirumuskan:

Jika fungsi f : x → ax +b dengan x anggota domain f , maka rumus dari fungsi f adalah f(x) = ax+b

 

Dengan menghitung nilai fungsi, kita dapat mengetahui nilai fungsi yang dapat menghasilkan kodomain dan domain.

 Perhatikan juga diagram panah yang menyatakan hubungan domain, kodomain, dan range.

 

Contoh

Suatu fungsi f(x) = 3x+2 dengan daerah asal { 1, 2, 3, 4 }. Tentukan daerah hasil ( range )

Penyelesaian

Fungsi f(x) = 3x+2

    

    Untuk x = 1, maka f ( 1 ) = 3.1 + 2 = 3 + 2 = 5

    Untuk x = 2, maka f ( 2 ) = 3.2 + 2 = 6 + 2 = 8

    Untuk x = 3, maka f ( 3 ) = 3.3 + 2 = 9 + 2 = 11

    Untuk x = 4, maka f ( 4 ) = 3.4 + 2 = 12 + 2 = 14

Jadi daerah Hasilnya adalah { 5, 8, 11, 14 }

Latihan Soal

1. Jika A= { 3, 4 } dan B = { 3, 4, 5 } dan relasi dari A ke B menyatakan "kurang dari". nyatakan relasi tersebut dalam :

a. diagram panah

b. himpunan pasangan berurutan

c. diagram kartesius

2. Suatu fungsi f(x) = 2x - 1 dengan daerah asal { 1, 2, 3, 4 }. Tentukan daerah hasil ( range )

Selamat belajar, semoga ilmunya bermanfaat....